4eEspace et géométrie

Thalès dans des triangles emboîtés

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Compétences du chapitre

Compétence 1 / 2

Calculer une longueur dans une configuration de Thalès emboîtée

Dans un triangle coupé par une parallèle à un côté, écrire les rapports de longueurs égaux et calculer une longueur inconnue.

Théorème de Thalès

Dans un triangle $ABC$ , soit $M$ un point du segment $[AB]$ et $N$ un point du segment $[AC]$ . Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

Une configuration de Thalès emboîtée

Triangles emboîtés $AMN$ et $ABC$ avec $(MN) \parallel (BC)$

Les longueurs connues sont dans la légende : on cherche $BC$ , en rouge.

Méthode

Vérifier les hypothèses : $M$ est sur $[AB]$ , $N$ est sur $[AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ .

Écrire les rapports égaux : « Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ ».

Remplacer par les valeurs connues, choisir deux rapports qui contiennent l'inconnue, puis résoudre avec un produit en croix.

Exemple

Dans le triangle $ABC$ , $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 3$ , $AB = 7{,}5$ et $MN = 4$ . Calculer $BC$ .

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