Prouver un parallélisme par la réciproque de Thalès dans des triangles emboîtés

Comparer deux rapports de longueurs pour démontrer que deux droites sont parallèles.

Réciproque du théorème de Thalès

Dans un triangle $ABC$ , soit $M$ un point du segment $[AB]$ et $N$ un point du segment $[AC]$ . Si les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ sont égaux, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \;\Longrightarrow\; (MN) \parallel (BC)$

Un parallélisme à démontrer

Triangle $ABC$ et points $M$ et $N$ : $(MN)$ est-elle parallèle à $(BC)$ ?

La droite $(MN)$ est en tirets : on ne sait pas encore si elle est parallèle à $(BC)$ .

Méthode

Vérifier que $M$ est sur $[AB]$ , $N$ est sur $[AC]$ , et que $M$ et $N$ sont du même côté de $A$ que $B$ et $C$ .

Calculer séparément $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ (valeurs décimales ou fractions simplifiées).

Si les deux rapports sont égaux, conclure : « D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ».

Exemple

Dans le triangle $ABC$ , $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ , avec $AM = 2$ , $AB = 5$ , $AN = 3$ et $AC = 7{,}5$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

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À revoir avant, si ça bloque

Ces compétences sont nécessaires pour réussir celle-ci.

Utiliser le coefficient de proportionnalitéProportionnalité · 5e Reconnaître les angles alternes-internes et correspondantsPropriétés du parallélisme · 5e

Ce que ça permet d'aborder ensuite

Ces compétences s'appuient sur celle-ci.

Démontrer le parallélisme par la réciproqueThéorème de Thalès · 3e

Calculer une longueur dans une configuration de Thalès emboîtée Exercices